複分析入門：複變函數

複變函數（Complesx Function) 是以複數作爲自變量和因變量的函數，一般的，復變函數可以表示爲

由於複數是二元數，我們需要一個二維平面才能表示一個複數，對於一個複變函數，自變量是二維的，因變量也是二維的，所以複變函數其實是四維的，也就是説，在現實世界裏，我們無法畫出複變函數的圖像，但是我們可以通過一些其他的方法研究複變函數的圖像，例如在三維圖像中加入顔色來表達第四維度，或者畫出虛部與實部的函數投影。

我們簡單討論在什麽情況下，複變函數的取值為實數。

一般地，在滿足特定x,y, 使得虛部函數v(x,y)=0 時，複變函數的取值為實數。

1.指數函數

將指數函數拓展到複數域中，

該函數的實部為Re(z)=exp(x)cosy，虛部為Im(z)=exp(x)siny,

當且僅當自變量虛部取時，函數的取值為實數，即

2. 三角函數與雙曲三角函數

我們不妨先來看看三角函數，雙曲三角和指數函數的關係。

所以有

結果顯然，故不作贅述。

3. 復變指數函數

上篇我們講到過複數的指數運算

因爲

特殊地

所以，當 時，函數取值為實數。

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