複分析入門

November 24, 2024

複分析入門

複數的概念想必大家都有耳聞，這篇文章的目的主要是簡單介紹一下複分析，理解什麽是複數，複分析。

1. 虛數單位

我們定義

$\mathrm{i}^\mathrm{2}\mathrm{\mathrm{=-1}$

i 即虛數單位。虛數 (Imaginary Number) 的概念其實不難理解，因爲在實數 (Real Number) 範圍内找不到平方為-1的數，所以可以説説虛數是人爲構造的一種數。虛數可以和實數結合，成爲複數 (Complex Number)

$z=a+bi;a,b\in R,z\in C$

這是複數最直觀的一種形式。a稱作複數的實部，Re(z)=a; b稱作複數的虛部，Im(z)=b。注意到這種形式類似於直角坐標系下的直綫方程，所以可以用複平面上的點表示複數，這裏不贅述。有直角坐標形式，必然有極坐標形式，即

$z=r(cos\varphi+isin\varphi);r,\varphi\in R,z\in C$

r為模, r=|z|，φ 為幅角, φ=arg⁡(z)。

2. 歐拉公式（Euler’s Formula）

歐拉公式，即

$e^{ix}=cosx+isinx$

將x=π 代入,即得到著名的歐拉恆等式 (Euler’s Identity)，

$e^{i\pi}=-1$

剛接觸到歐拉公式的時候覺得真的是個很神奇的東西，因爲它很巧妙地把指數函數，三角函數和虛數單位結合在一起，感覺有些類似數學界的大一統理論。出乎意料的是，歐拉公式的證明卻異常地簡單，僅需用到泰勒展開式（Tayler Series）便可輕鬆證明。以下爲證明過程：

$e^{x}=\sum_{0}^{\infty}\frac{x^{k}}{k!}$

$cosx=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$

$sinx=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}$

$e^{ix}=\sum_{0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n}}{(2n)!}+\sum_{0}^{\infty}\frac{(ix)^{2n+1}}{(2n+1)!}=\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^nx^{2n}}{(2n)!}+i\sum_{0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}=cosx+isinx$

注意到等式右邊與複數的極坐標形式吻合，所以極坐標形式也可表示為

$z=r(cos\varphi+isin\varphi)=re^{i\varphi}$

3. 棣莫弗公式 (de Moivre's formula)

我們很容易推導出虛數單位的整數次冪，那麽如何計算任意複數的整數次冪呢？顯然，利用綫性方程并不是一個明智的選擇，因爲這會涉及到多項式展開，而

$z^k=r^k e^{ki\varphi}$

便容易得多，不太直觀的是，利用極坐標形式求解也是一個較爲簡潔的辦法，因爲我們有棣莫弗公式，對，就是精算裏棣莫弗法則 (de Moivre's law）的那個棣莫弗！

$(cos\varphi+isin\varphi)^n=cos(n\varphi)+isin(n\varphi)$

證明從略。

棣莫弗公式給了一個求複數根的一個好方法，例如方程：

$x^3=7;x\in C$

顯然不只有一個x=∛7 的根，因爲根據根式定理，三次方程必有三個根，那麽必定還有兩個復根，利用棣莫弗公式，求解會變得相對容易

$r^3(cos\varphi+isin\varphi)^3=r^3[cos(3\varphi)+isin(3\varphi)]=7$

解得

$r=\sqrt[3]{7},\varphi=\frac{2}{3}k\pi$

那麽

$x=\sqrt[3]{7},\sqrt[3]{7}(\frac{-1\pm\sqrt{3}i}{2})$

歐拉公式，或者説歐拉恆等式能推演出一些驚人的結論，例如虛數單位的虛數單位次方竟然是實數：

$e^{i\pi}=-1\Rightarrow e^{i\pi/2}=i\Rightarrow i^i=e^{(i\pi/2)i}=e^{-\pi/2}$

但是呢，其實這種證明方法是不嚴謹的，因爲e^(-π/2) 僅僅只是其中的一個值，因爲複指數函數其實是一個多值函數。

$e^z=e^{x+yi}=e^x e^{i(y+2k\pi)}=e^x(cos y+isiny)$

$e^z=i\Rightarrow x=0,y=\pi/2+2k\pi$

$e^{(\pi/2+2k\pi)i}=i$

$i^i=e^{(\pi/2+2k\pi)i\cdot i}=e^{-(\pi/2+2k\pi)};$

更一般的，我們有

$z^w=e^{w(ln|z|+i\cdot\mathbf{arg}(z))}e^{iw(2k\pi)}$

證明從略。

故

$i^i=e^{i(ln1+i\pi/2)}e^{i\cdot i(2k\pi)}=e^{-(\pi/2+2k\pi)}$

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